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函數方程求解世界滾動

2023-07-02 10:46:09來源：個人圖書館-123xyz123

題目如下:

文章中會使用一些數學符號:

(資料圖片僅供參考)

即 "令" 即 "恒等于" 即非負整數集即正整數集即整數集即有理數集即非負有理數集即 "對于任意的/所有的"

一上來沒有太多思路的情況下最好的做法就是試值. 通過觀察函數方程的結構, 注意到最令人頭疼的是, 所以我們希望消除復合函數. 自然會想到

這樣我們知道一個滿足該方程的函數是 , 接下來只需要討論的情況. 因為我們已知, 自然要去利用這個條件, 所以因此是函數方程的另一個解. 下面繼續討論的情況. 我們目前知道的值, 下面自然會想到求出的值. 此時我們試值時要注意到不能繼續使用, 因為這只會讓我們知道另外, 注意到方程的結構非常容易操作, 因為大部分函數內并沒有再次進行運算, 唯一需要特別關注的是和兩項. 比較容易想到我們已經獲得了大量的信息, 因此現在不妨大膽猜測.

猜想1:

我們希望驗證剛才提出的猜想, 即 . 我們該怎么驗證呢？實際上, 可以參考剛才的思路. 一開始, 我們得出 , 從而推出 , 進而結合前面的結論推出. 其實我們是在個命題全部正確性的基礎上, 推出命題是正確的, 其中代表.

令代表命題, 若其中任意命題錯誤, 錯誤, 反之正確. 我們之前的操作證明了對于 , , 現在我們希望證明 . 下面進行證明：

已知對于某,

由于

知

證明完畢后, 我們發現該證明可以直接使用. 這并不是大的問題, 也不會影響我們后續的證明, 所以無需修改.

這種證明方式, 即利用以及一些特殊情況 (base case) 的正確性來證明某猜想的一般性被稱為數學歸納法, 是一種常見的證明方法.

結論1:

接下來的兩部分證明具有一定的挑戰性. 既然我們已經討論完正整數的情況, 接下來自然會想到將證明拓展到非負有理數情況 (即完成非負數部分證明). 不妨設有理數為 . 經過合理的猜測, 我們希望證明

這并不好證明, 即使結合之前的結論也很難直接證明. 因此, 這種情況下一般會想到將題目及題目條件換一種方式表達出來. 對于這道題, 我們可以從兩個方面考慮:

盡量避免"復雜形式=簡單形式"的等式, 例如這里提出的. 原因也是很顯然的, 因為這樣很難看出其本質與結構特征, 并且可能省略了一些關鍵信息.函數內盡量避免分數, 因為沒法處理.

有了這兩條"原則", 經過一些嘗試后題目可轉化為

到這里貌似遇到了困難, 所以再從之前證明的結論中尋找切入點. 目前我們不是很清楚如何使用之前的結論, 不妨再次嘗試試值.

猜想2:

在這個階段, 我們并不確定怎么避開分數, 因為試值的目的就是分析的性質. 但是, 我們盡量避免出現類似的情況, 因為這樣會將我們的證明復雜化.

此時, 我們要考慮

并由此得出

我們希望能將原方程轉化為

其中是與有關的函數表達式. 因此, 可將原方程整理為

結合,

由

結論2:

接下來證明負數的情況. 我們依然考慮利用這一項作為突破點, 畢竟這允許我們結合對非負整數成立的性質來求解. 若繼續使用跟前面一樣的試值方法會遇到一些困難 (可以自行嘗試, 留作練習). 因此, 可以先對條件盡可能地進行轉化. 這里需要進行嘗試, 但計算量并不大, 主要是利用之前的結論對方程進行展開, 并且要取原方程中的主要條件. 因為想從上突破, 所以令.

結合以上結論得

由得

接下來有許多種處理方式, 在此我們介紹一個比較巧妙的函數方程組. 先看方法：

通過已知結論及, 構造

那么我們為什么會想到這一步呢？實際上, 我們發現的偶數次迭代給我們帶來了非常強的結論, 我們此時希望達到一個最好的情況, 也就是能將奇數次迭代的表達式與一個數字進行直接的比較, 而我們目前只能將的情況寫為一個數字, 因此會想到用. 也正是因為直接比較的需求, 我們希望能利用在正有理數域上的單調性將表達式簡化, 因此會想到取的平方. 經過大膽的嘗試, 我們就可以得到以上方程組.相減, 并考慮在上的單調性：

若,

矛盾. 因為符合原方程, 則. 這里使用其他測試值也能得到矛盾, 不再展開說明.

對負數的情況使用數學歸納法, 再使用處理分數的思路 (留作練習), 可得出

或或

容易驗證這些函數均滿足原方程. 證畢.

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